Question

（2005•河南）如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B、C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．
（1）點P在BC上運動的過程中y的最大值為______cm；
（2）當y=cm時，求x的值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）不管P如何移動，都有△ABP∽△PCQ，根據比例線段可得到關于y的表達式，再根據二次函數來求出y的最大值．
（2）由y的值代入函數式即可求出x的值．
解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，點在BC上運動時始終有，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴，
∴y=-（x²-4x）=（x²-4x+4）+1=-（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-＜0，
∴y有最大值（當x=2時），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-（x²-4x）當y=cm時，=-（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=．
∵0＜2±＜4，
∴當y=cm時，x的值是（2+）cm或（2-）cm．
點評：本題主要運用了相似三角形的判定和性質，以及二次函數求最大值的內容和相關知識．