Question

如圖，已知AB∥CD，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為EC上一點(diǎn)，且∠EAF=∠C．
（1）求證：△AFE∽△BFA；
（2）求證：AF²=EF•FB．

Answer 1

分析：（1）由已知的平行得到一對內(nèi)錯角相等，再由已知的兩角相等，等量代換得到∠B=∠EAF，加上公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似即可得證；
（2）由（1）證得的三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，變形后即可得證．

解答：證明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（兩直線平行內(nèi)錯角相等），
又∠EAF=∠C（已知），
∴∠B=∠EAF（等量代換），
又∠AFE=∠BFA（公共角），
∴△AFE∽△BFA（兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似）；

（2）由（1）得到△AFE∽△BFA，
∴

AF

FB

=

EF

AF

，
即AF²=EF•FB．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定方法一般有：1、兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；2、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似；在證明線段的乘積形式時，常常把乘積形式化為比例形式來分析，借助三角形相似即可得證．