Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（6，0），若將經過B、C兩點的直線y=mx+n沿y軸向下平移6則恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線x=4．
（1）求拋物線及直線BC的解析式；
（2）如果P是線段BC上一點，設△ABP、△ACP的面積分別是S_△ABP、S_△ACP，且S_△ABP=S_△ACP，求點P的坐標；
（3）設⊙Q的半徑為2，圓心Q在拋物線上運動．則在運動過程中，是否存在圓Q與坐標軸相切的情況，若存在，請求出圓心Q的坐標，若不存在，請說明理由．
（4）在（3）的情況下，設⊙Q的半徑為r，是否存在與兩坐標軸同時相切的圓，若存在，求出半徑r的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）直線y=mx+n沿y軸向下平移6后恰好經過原點，
∴n=6，C（0，6）．
將B（6，0）代入y=mx+6，得mx+6=0，m=-1．
∴直線AC的解析式為y=-x+6．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A、C，且對稱軸x=4，c=6．
∴，
解之得：，
∴拋物線的函數解析式為．
注：變可設拋物線方程y=a（x-2）（x-6），代入C（0，6）即可求之．
（2）設P（x′，-x′+6），
由S_△ABP=S_△ACP得：S_△ABP=（S_△ABC-S_△ABP），
∴5S_△ABP=2S_△ABC．
5×（6-2）（-x′+6）=2××（6-2）×6，
解之得：x′=，
∴P（，）．
（3）假設⊙Q在運動過程中，存在⊙Q與坐標軸相切的情況．
設點Q的坐標為（x₀，y₀）．
①當⊙Q與y軸相切時，有|x₀|=2，即x₀=±2．
當x₀=-2時，
∴，
∴Q₁（-2，16）．
當x₀=2時，，
∴Q₂（2，0）．
②當⊙Q與x軸相切時，有|y₀|=2，即y₀=±2．
當y₀=-2時，有，解之得x₀=4．
∴Q₃（4，-2）．
當y₀=2時，有，
解之得，．
∴Q₄（，2），Q₅（，2）．
綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標分別為Q₁（-2，16）、Q₂（2，0）、Q₃（4，-2）、Q₄（，2）、Q₅（，2）．
（4）存在與兩坐標軸同時相切的圓．設點Q（x₁，y₁）．
當⊙Q與兩坐標軸同時相切時，有|y₁|=|x₁|=r，即y₁=±x₁．
由y₁=x₁，得，即，
解之得：．
∴．
由y₁=-x₁，得，
即．
此方程無實數解．
綜上所述，存在與兩坐標軸同時相切的圓，此圓半徑．
分析：（1）根據直線平移的規律，求出C點坐標，再根據函數對稱軸為x=4，與y軸交點坐標為（0，6），利用待定系數法求出函數解析式；
（2）設P（x′，-x′+6），由S_△ABP=S_△ACP得：S_△ABP=（S_△ABC-S_△ABP），據此建立關于x′的方程，解方程即可求出函數解析式；
（3）分兩種情況討論：①當⊙Q與y軸相切時，有|x₀|=2，即x₀=±2．據此求出y的值；②當⊙Q與x軸相切時，有|y₀|=2，即y₀=±2．據此求出x的值．
點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及待定系數法求函數解析式、切線的判定和性質，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．