Question

（2013•蘇州一模）如圖，一直線與反比例函數y=

k

x

（k＞0）交于A、B兩點，直線與x軸，y軸分別交于C，D兩點，過A，B兩點分別向x軸，y軸作垂線，H、E、F、I為垂足，BF與AE交于G點．
（1）矩形OFBI與矩形OHAE的面積和為

2k

；（用含七的代數式表示）；
（2）求證：①AG•GF=EG•GB；②AC=BD；
（3）若直線AB的解析式為y=2x+2，且AB=2CD，反比例函數解析式為

y=

3

2x

．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數y=

k

x

的幾何意義得到S_矩形OFBI=k，S_矩形OHAE=k，則矩形OFBI與矩形OHAE的面積和為2k；
（2）根據（1）的結論易得S_矩形AGFH=S_矩形BIEG，根據矩形的面積公式得到AG•GF=EG•GB；由AG•GF=EG•GB變形得GE：GA=GF：GB，而∠EGF=∠AGB，根據相似的判定方法得到△EGF∽△AGB，則∠GAB=∠GEF，所以EF∥AB，根據平行四邊形的判定方法得到四邊形AEFC、四邊形BDEF都是平行四邊形，于是AC=EF，EF=BD，即可得到AC=BD；
（3）先確定C點坐標（-1，0），D點坐標（0，2），再計算出CD=

5

，利用AB=2CD，AC=BD得到BD=

5

2

，設B點坐標為（a，a+2），在Rt△BDI中利用勾股定理得到a²+（2a）²=（

1

2

5

）²，解得a₁=

1

2

，a₂=-

1

2

（舍去），則B點坐標為（

1

2

，3），然后利用待定系數法即可確定反比例函數解析式．

解答：（1）解：∵S_矩形OFBI=k，S_矩形OHAE=k，
∴矩形OFBI與矩形OHAE的面積和為2k；

（2）證明：①∵S_矩形OFBI=S_矩形OHAE，
∴S_矩形OFBI+S_矩形OEGF=S_矩形OHAE+S_矩形OEGF，
∴S_矩形AGFH=S_矩形BIEG，
∴AG•GF=EG•GB；
②∵AG•GF=EG•GB，
∴GE：GA=GF：GB，
∵∠EGF=∠AGB，
∴△EGF∽△AGB，
∴∠GAB=∠GEF，
∴EF∥AB，
∵CF∥AE，BF∥DE，
∴四邊形AEFC、四邊形BDEF都是平行四邊形，
∴AC=EF，EF=BD，
∴AC=BD；

（3）∵直線AB的解析式為y=2x+2，
∴C點坐標為（-1，0），D點坐標為（0，2），
∴CD=

OC2+OD2

=

5

，
∵AB=2CD，AC=BD，
∴BD=

5

2

，
設B點坐標為（a，a+2），
在Rt△BDI中，BI=a，ID=2a+2-2=2a，
∴a²+（2a）²=（

1

2

5

）²，解得a₁=

1

2

，a₂=-

1

2

（舍去），
∴B點坐標為（

1

2

，3），
把B（

1

2

，3）代入y=

k

x

得k=

1

2

×3=

3

2

，
∴反比例函數解析式為y=

3

2x

．
故答案為：2k；y=

3

2x

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、比例系數的幾何意義和矩形和平時四邊形的判定與性質；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．