Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點A和B（4，0），與y軸交于點C（0，8），其對稱軸為x=1．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過A、B、C三點作⊙O′與y軸的負半軸交于點D，求經過原點O且與直線AD垂直（垂足為E）的直線OE的方程；
（3）設⊙O′與拋物線的另一個交點為P，直線OE與直線BC的交點為Q，直線x=m與拋物線的交點為R，直線x=m與直線OE的交點為S．是否存在整數m，使得以點P、Q、R、S為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=1，可得出-

b

2a

=1，然后將B、C坐標代入拋物線中即可求二次函數的解析式；
（2）根據相交弦定理可求得OD的長，即可得出D點的坐標，然后用待定系數法求出直線AD的解析式，由于直線OE⊥AD，因此兩函數的斜率的乘積為-1由此可得出直線OE的解析式；
（3）由于PQ∥RS，因此只需征得PQ=RS即可，可求出Q、S的坐標，然后表示出RS的長，不難求出P、Q的坐標，也就能求出PQ的長，另PQ=RS即可求出符合條件的m的值．

解答：解：（1）由已知，有

- b 2a =1 16a+4b+c=0 c=8

，
解得：

a=-1 b=2 c=8

∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+8；

（2）令y=0，得方程-x²+2x+8=0，
即（x-4）（x+2）=0，
∴x₁=-2，x₂=4．
∴點A的坐標為（-2，0）
在⊙O′中，由相交弦定理，得|OA|•|OB|=|OC|•|OD|
即2×4=8×|OD|
∴|OD|=1
∵點D在y軸的負半軸上，
∴點D的坐標為（0，-1）
設直線AD的解析式為y=kx-1，
則有：-2k-1=0，k=-

1

2

；
由于直線OE⊥AD
∴直線OE的方程為y=2x；

（3）在⊙O′中，
∵對稱軸x=1垂直平分弦AB，
∴由垂徑定理的推論知直線x=1經過圓心O′
∵點C（0，8），
∴由對稱性得點P的坐標為（2，8）
設直線BC的方程為y=kx+b（k≠0）
則有4k+b=0
∵b=8，
∴k=-2
∴直線BC的方程為y=-2x+8
聯立方程組

y=-2x+8 y=2x

解得

x=2 y=4

∴點Q的坐標為（2，4）
∵點P（2，8），點Q（2，4），
∴PQ∥RS
設點R的坐標為（m，-m²+2m+8），點S的坐標為（m，2m）
要使四邊形PQRS為平行四邊形，
已知PQ∥RS，尚需條件|RS|=|PQ|
由|（-m²+2m+8）-2m|=|8-4|=4
得|-m²+8|=4
即-m²+8=4，或-m²+8=-4
由-m²+8=4，得m=±2；
由-m²+8=-4，得m=±2

3

，
而m=2、2

3

、-2

3

不合題意，應舍去，
∴存在整數m=-2，使得以點P、Q、R、S為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、相交弦定理、平行四邊形的判定、函數圖象交點等知識點．