Question

問題探究：
（1）請你在圖①中做一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分；
（2）如圖②點M是矩形ABCD內一點，請你在圖②中過點M作一條直線，使它將矩形ABCD分成面積相等的兩部分．
問題解決：
（3）如圖③，在平面直角坐標系中，直角梯形OBCD是某市將要籌建的高新技術開發區用地示意圖，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4開發區綜合服務管理委員會（其占地面積不計）設在點P（4，2）處．為了方便駐區單位準備過點P修一條筆直的道路（路寬不計），并且是這條路所在的直線l將直角梯形OBCD分成面積相等的兩部分，你認為直線l是否存在？若存在，求出直線l的表達式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩部分．
（2）連接AC，BD中心點位P，過P點的直線分矩形為相等的兩部分．
（3）假如存在，過點D的直線只要作DA⊥OB與點A，求出P點的坐標，設直線PH的表達式為y=kx+b，解出點H的坐標，求出斜率k和b．若k和b存在，直線就存在．

解答：解：（1）如圖①．

（2）如圖②連接AC、BD交于P則P為矩形對稱中心．作直線MP，直線MP即為所求．

（3）如圖③存在直線l，
過點D作DA⊥OB于點A，
則點P（4，2）為矩形ABCD的對稱中心，
∴過點P的直線只要平分△DOA的面積即可，
易知，在OD邊上必存在點H使得PH將△DOA面積平分．
從而，直線PH平分梯形OBCD的面積，
即直線PH為所求直線l
設直線PH的表達式為y=kx+b且點P（4，2），
∴2=4k+b即b=2-4k，
∴y=kx+2-4k，
∵直線OD的表達式為y=2x，
∴

y=kx+2-4k y=2x

，
解得

x= 2-4k 2-k y= 4-8k 2-k

．
∴點H的坐標為（x=

2-4k

2-k

，y=

4-8k

2-k

）
把x=2代入直線PH的解析式y=kx+2-4k，得y=2-2k，
∴PH與線段AD的交點F（2，2-2k），
∴0＜2-2k＜4，
∴-1＜k＜1．
∴S_△DHF=

1

2

（4-2+2k）•（2-

2-4k

2-k

）=

1

2

×

1

2

×2×4，
∴解得k=

13 -3

2

（k=

- 13 -3

2

舍去）．
∴b=8-2

13

，
∴直線l的表達式為y=

13 -3

2

x+8-2

13

．

點評：本題主要考查矩形的性質，前兩問還是比較容易，但是最后一問比較麻煩，容易出錯，做的時候要認真．