Question

（1）觀察下列各圖，第①個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第②個(gè)圖中有3個(gè)三角形，第③個(gè)圖中有6個(gè)三角形，第④個(gè)圖中有

 

個(gè)三角形，…，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可知第n個(gè)圖中有

 

個(gè)三角形（用含正整數(shù)n的式子表示）；

（2）（1）中是否存在一個(gè)圖形，該圖形中共有29個(gè)三角形？若存在請(qǐng)畫出圖形；若不存在請(qǐng)通過具體計(jì)算說明；
（3）圖③中，點(diǎn)B線段AC的中點(diǎn)，D為AC延長線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△PDA的面積為S₁；△PCB的面積為S₂；△PDC的面積為S₃．下列兩個(gè)結(jié)論（1）

S1+S3

S2

是定值；（2）

S1-S3

S2

是定值．有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)作出選擇并求值．

Answer 1

分析：（1）我們看到后一個(gè)圖形的三角形的個(gè)數(shù)與上一個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)的差是遞增的（1，1+2，3+3，6+4，10+5，…），因此我們可得出到第n個(gè)圖時(shí)，應(yīng)該有三角形的個(gè)數(shù)為

n(n+1)

2

個(gè)；
（2）將29代入（1）得出的式子中，看看是否有整數(shù)解即可；
（3）可根據(jù)AB=AC得出三角形ABP，BCP的面積相等，因此三角形BCP的面積就是三角形APC的面積的一半，三角形APC的面積=三角形APD的面積-三角形PCD的面積，因此

S1-S3

S2

=2是成立的．

解答：解：（1）由題意得出規(guī)律，第n個(gè)圖時(shí)，應(yīng)該有三角形的個(gè)數(shù)為

n(n+1)

2

個(gè)；

（2）當(dāng)

n(n+1)

2

=29，
化簡得：n²+n-58=0，
由于這個(gè)方程中沒有正整數(shù)解，因此不管是第幾個(gè)圖形，都不可能有29個(gè)三角形；

（3）

S1-S3

S2

=2，
∵AB=BC，且三角形ABP和三角形BCP的底邊AB，CD上的高相等，
∴S_△ABP=S_△BCP=

1

2

S_△APC，
因此S_△APC=S_△APD-S_△PCD=S₁-S₃=2S₂，即

S1-S3

S2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形和規(guī)律性等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題中給出的條件是解題的關(guān)鍵．