Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點，且與直線交于.

（1）求出點的坐標

（2）當時，直接寫出x的取值范圍.

（3）點在x軸上，當△的周長最短時，求此時點D的坐標

（4）在平面內是否存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（6，3）；（2）；（3）（0，0）；（4）（6，9）或（6，-3）或（-6，3）.

【解析】

（1）直接聯立兩直線解析式，即可得到點A的坐標；

（2）直接在圖象上找到時，x的取值范圍；

（3）過點A作交點為E即可得出點D與點O重合的時候，△的周長最短，即可得出點D的坐標；

（4）分三種情況考慮：當四邊形OAQ1C為平行四邊形時；當四邊形OQ2AC為平行四邊形時；當四邊形OACQ3為平行四邊形時，分別求出點Q的坐標即可.

（1）聯立兩直線解析式可得

解得：

點A的坐標為（6，3）

（2）由點A（6，3）及圖象知，當時，

（3）

過點A作交點為E，由圖可知點B關于直線AE的對稱點為點O

當點D與點O重合的時候，△的周長最短

即為CO+BC=6+6

此時點D的坐標為（0，0）

（4）存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形

如圖所示，分三種情況考慮：

當四邊形OAQ1C為平行四邊形時,

點Q1的橫坐標為6，縱坐標為點C的縱坐標+3=9

Q1的坐標為（6，9）

當四邊形OQ2AC為平行四邊形時,

點Q2的橫坐標為6，縱坐標為點A的縱坐標-6=-3

Q2的坐標為（6，-3）

當四邊形OACQ3為平行四邊形時,

點Q3關于OC的對稱點為點A

Q3的坐標為（-6，3）

綜上點Q的坐標為：（6，9）或（6，-3）或-6，3）.