Question

如圖，點A在x軸的負半軸上，OA=4，AB=OB=，將△ABO繞坐標原點O順時針旋轉90°，得到△A₁B₁O，再繼續旋轉90°，得到△A₂B₂O，拋物線y=ax²+bx+3經過B、B₁兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點B₂是否在此拋物線上，請說明理由；
（3）在該拋物線上找一點P，使得△PBB₂是以BB₂為底的等腰三角形，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．點P的坐標是______．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先求出B點的坐標，根據旋轉的性質不難得出B₁的橫坐標的就是B點的縱坐標，而B₁的縱坐標就是B的橫坐標的絕對值，由此可求出B₁的坐標，同理可求出B₂的坐標，然后將這B、B₁點的坐標代入拋物線中，即可求出二次函數的解析式．
（2）根據（1）求出的B₂和拋物線的解析式即可判斷出B₂是否在拋物線上．
（3）已知了等腰三角形是以BB₂為底，因此P點必為BB₂的垂直平分線與拋物線的交點，可先求出BB₂的垂直平分線的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出符合條件的P點的坐標．
解答：解：（1）過點B作BE⊥OA于點E，
∵AB=OB=，
∴OE=OA=2，
∴BE==1，
∴B（-2，1），
由旋轉的性質可得：B₁坐標為（1，2），B₂坐標為：（2，-1），
∵拋物線y=ax²+bx+3經過B、B₁兩點，
∴，
解得：．
即拋物線的解析式為y=-x²-x+3．
（2）當x=2時，y=-×2²-×2+3=-≠-1，
故點B₂（2，-1）不在此拋物線上．
（3）點P應在線段BB₂的垂直平分線上，由題意可知，OB₁⊥BB₂且平分BB₂，
∴點P在直線OB₁上．
可求得OB₁所在直線的解析式為y=2x，
又點P是直線y=2x與拋物線y=-x²-x+3的交點，
故可得，
解得：，；
故符合條件的點P有兩個，P₁（1，2），P₂（-，-9）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、等腰三角形的判定等重要知識點，綜合性強，能力要求較高，要求學生掌握數形結合的數學思想方法．