Question

如圖是一個長為400米的環形跑道，其中A、B為跑道對稱軸上的兩點，且A、B之間有一條50米的直線通道．甲、乙兩人同時從A點出發，甲按逆時針方向以速度v₁沿跑道跑步，當跑到B點處時繼續沿跑道

前進，乙按順時針方向以速度v₂沿跑道跑步，當跑到B點處時沿直線通道跑回A點處．假設兩人跑步時間足夠長．求：
（1）如果v₁：v₂=3：2，那么甲跑了多少路程后，兩人首次在A點處相遇？
（2）如果v₁：v₂=5：6，那么乙跑了多少路程后，兩人首次在B點處相遇？

Answer 1

（1）設甲跑了n圈后，兩人首次在A點處相遇，再設甲、乙兩人的速度分別為v₁=3m，v₂=2m，
由題意可得在A處相遇時，他們跑步的時間是

400n

3m

（2分）
是

400n

3m

?2m=

800

3

n（3分）
因為乙跑回到A點處，所以

800

3

n應是250的整數倍，從而知n的最小值是15，（4分）
所以甲跑了15圈后，兩人首次在A點處相遇（5分）

（2）設乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米時，兩人首次在B點處相遇，設甲、乙兩人的速度分別為v₁=5m，v₂=6m，由題意可得

400q+200

5m

=

250p+200

6m

，即

8q+4

5

=

5p+4

6

，（7分）
所以48q+24=25p+20，即48q+4=25p（p，q均為正整數）．
所以p，q的最小值為q=2，p=4，（8分）
此時，乙跑過的路程為250×4+200=1200（米）．（9分）
所以乙跑了1200米后，兩人首次在B點處相遇．（10分）