Question

如圖所示，點是⊙上一點，⊙與⊙相交于、兩點，，垂足為，分別交⊙、⊙于、兩點，延長交⊙于，交的延長線于，交于，連結．
【小題1】求證：；
【小題2】若，求證：；
【小題3】 若，且線段、的長是關于的方程的兩個實數根，求、的長．

Answer 1

【小題1】∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分別為⊙O₁、⊙O₂的直徑．                       
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C．                                       
【小題2】∵∠DO₂C=45°，∴∠ABD=45°
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=（180°-∠DO₂C）=67.5°，                   
∴∠4=22.5°，·                                           
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．                                 
【小題3】∵BF=6CD，∴設CD=k，則BF=6k．
連結AE，則AE⊥AD，∴AE∥BC，
∴ ∴AE·BF=BD·AF．
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO₂=DO₂
∠AO₂E=∠DO₂C， O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，∴AE=CD=k，
∴6k²=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，∴BC=AB．
∴6k²=（BC-k）（6k-BC）．∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k或BC=4k．                                 
當BC=3k，BD=2k．
∵BD、BF的長是關于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的兩個實數根．
∴由根與系數的關系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．
整理，得：4m²-12m+29=0．
∵△=（-12）²-4×4×29=-320<0，此方程無實數根．
∴BC=3k（舍）．                                         
當BC=4k時，BD=3k．
∴3k+6k=4m+2，18k²=4m²+8，整理，
得：m²-8m+16=0，
解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化為x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12， ∴BD=6，BF=12．

解析