Question

（2005•湘潭）如圖，已知：AB是定圓的直徑，O是圓心，點C在⊙O的半徑AO上運動，PC⊥AB交⊙O于E，交AB于C，PC=5．PT是⊙O的切線（T為切點）．
（1）當CE正好是⊙O的半徑時，PT=3，求⊙O的半徑；
（2）當C點與A點重合時，求CT的長；
（3）設PT²=y，AC=x，寫出y關于x的函數關系式，并確定x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質定理發現直角三角形，根據勾股定理進行計算；
（2）首先根據勾股定理計算出OP的長，再根據切線長定理和等腰三角形的三線合一發現直角三角形PGC．再根據相似三角形的性質得到比例式，從而求解；
（3）根據切割線定理求解．
解答：解：（1）連接OT，如圖1
∵在Rt△OTP中PO=PC=5，PT=3，
∴OT==4，
∴⊙O的半徑OT=4；


（2）若C與A重合，連接PO，PO與CT交于G，如圖2
則PO⊥CT，且CG=TG；
由Rt△PCO可得PO==，
由Rt△PCO∽Rt△PGC，
∴，
∴，
∴CT=；

（3）延長PC與⊙O交于F，如圖3
∵AB是直徑，EC⊥AB，
∴CE=CF，
∴CE²=AC•BC=x（8-x），
∵PT²=PE•PF，
即y=（PC-EC）（PC+EC）=PC²-CE²=25-x（8-x）=x²-8x+25（0≤x≤4）．
點評：此題綜合運用了勾股定理、切線長定理和切割線定理．