Question

（2013•徐州模擬）如圖，在直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數），則點P₂₀₁₁的坐標為（　　）

• A．（-2²⁰¹¹，0）
• B．（-

  2

  ?2²⁰¹¹，

  2

  ?2²⁰¹¹）
• C．（0，-2²⁰¹¹）
• D．（-

  2

  ?2²⁰¹⁰，

  2

  ?2²⁰¹⁰）

Answer 1

分析：先根據伸長的變化規律求出OP₂₀₁₁的長度，再根據每8次變化為一個循環組，求出點P₂₀₁₁是第幾組第幾次的變化，然后確定出所在的象限，再根據等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的

2

2

倍解答即可．

解答：解：由題意可得，OP₀=1，OP₁=2×1=2，
OP₂=2×2=2²，
OP₃=2×2²=2³，
OP₄=2×2³=2⁴，
…
OP₂₀₁₁=2×2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹，
∵每一次都旋轉45°，360°÷45°=8，
∴每8次變化為一個循環組，
2011÷8=251…3，
∴點P₂₀₁₁是第252組的第三次變換對應的點，與點P₃在同一象限，都在第二象限的平分線上，
∵

2

2

×2²⁰¹¹=

2

•2²⁰¹⁰，
∴點P₂₀₁₁的坐標為（-

2

•2²⁰¹⁰，

2

•2²⁰¹⁰）．
故選D．

點評：本題考查了點的坐標的規律探尋，讀懂題意，需要從伸長的變化規律求出OP₂₀₁₁的長度，從旋轉的變化規律求出點P₂₀₁₁所在的象限兩個方面考慮求解．