Question

如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連接CD、OD．
求證：（1）△DEC∽△ODC；
（2）2CD²=CE•AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以得出，進而得出∠COD=∠BOD=45°，=90°，得到∠ADC=45°，得到∠ADC=∠DOC，從而可以得到△DEC∽△ODC．
（2）由△DEC∽△ODC可以得到，得到DC²=OC•EC，由AB=2OC可以得出結論．
解答：（1）證明：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴，
∴∠ADC=45°．
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴∠DOC=45°，
∴∠CDE=∠COD，
∵∠DCE=∠DCO，
∴△DEC∽△ODC；
（2）∵△DEC∽△ODC，
∴
∴CD²=CE•CO，
∴2CD²=2CE•CO
∵2CO=AB
∴2CD²=CE•AB
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質的運用及圓周角定理及圓心角定理的運用．