Question

如圖，若把邊長為1的正方形ABCD的四個角（陰影部分）剪掉，得一四邊形A₁B₁C₁D₁．試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形，且剩下圖形的面積為原來正方形面積的，請說明理由．（寫出證明及計算過程）

Answer 1

解：∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁=D₁A₁，
∵∠AA₁D₁+∠AD₁A₁=90°，∠AA₁D₁+∠BA₁B₁=90°，
∴∠AD₁A₁=∠BA₁B₁，
同理可得：∠AD₁A₁=∠BA₁B₁=∠DC₁D₁=∠C₁B₁C，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴△AA₁D₁≌△BB₁A₁≌△CC₁B₁≌△DD₁C₁，
∴AA₁=D₁D，
設AD₁=x，那么AA₁=DD₁=1-x，
Rt△AA₁D₁中，根據勾股定理可得：
A₁D₁²=x²+（1-x）²，
∴正方形A₁B₁C₁D₁的面積=A₁D₁²=x²+（1-x）²=，
解得x=，x=．
答：依次將四周的直角邊分別為和的直角三角形減去即可．
分析：本題中易證四邊的四個小直角三角形全等，那么可設一邊為x，那么另一邊就是（1-x），可用勾股定理求出里面的正方形的邊長的平方也就是其面積，然后根據剩下圖形的面積為原來正方形面積的，來列方程求解．
點評：對于面積問題應熟記各種圖形的面積公式．另外，整體面積=各部分面積之和；剩余面積=原面積-截去的面積．