Question

討論下列問題的解答：
（1）平面內有n個點（n≥2），其中任意三個點都不在同一條直線上，過這些點中的每兩個作直線，一共能作出多少條不同的直線？寫出你的思考過程．
（2）平面內有n條直線，每兩條直線都相交，且沒有三條直線相交于同一點．記這n條直線將這個平面分成的區域數記為a_n，試求出a_n與n之間的關系式．

Answer 1

解：（1）過兩點可以畫1條直線，過不在同一直線上的三點可以畫3條直線，過任意三個點都不在同一條直線上的四點可以畫6條直線，…，過任意三個點都不在同一條直線上的n點可以畫條直線；

（2）1條直線分平面2個區域，即a₁=2，
2條直線分平面4個區域，即a₂=4，
3條直線分平面7個區域，即a₃=7，
那么就出現了一個比較明顯的規律，
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
將上面的所有式子，左邊+左邊=右邊+右邊，∵a₁=2，
a_n-a₁=2+3+…+n，即a_n=2+2+3+…+n=1+1+2+3+…+n=1+=．
分析：（1）根據題意每兩個點都可以作一條直線，但每一條直線都數了兩次，要除以2；
（2）先總結出幾種特殊的情況，然后找到規律，得出a_n與n之間的關系式．
點評：本題著重培養學生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法．是規律型的題目，難度較大，一定要認真．