Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°．

（1）在BC邊上作一點P，使得點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）在（1）的條件下，若AC=8，BC=6，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，點P即為所求

（2）解：作PD⊥AB于點，如圖，

∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，

∴PD=PC．

在Rt△ADP和Rt△ACP中

，

∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），

∴AD=AC=8，

在Rt△ABC中，AB= =10，

∴BD=10﹣8=2，

設PC=x，則PD=x，BP=6﹣x，

在Rt△BDP中，∵PD2+BD2=PB2，

∴（6﹣x）2=x2+22，解得x= ．

答：CP的長為

【解析】（1）根據角平分線的性質作圖，作∠BAC的平分線交BC于P點，則點P到點C的距離與點P到邊AB的距離相等。
（2）添加輔助線，過點點P作PD⊥AB于點D，根據角平分線性質得PD=PC，則可證明Rt△ADP≌Rt△ACP得到AD=AC=8，再利用勾股定理計算出AB=10，則BD=2，設PC=x，則PD=x，BP=6-x，在Rt△BDP中，利于勾股定理得建立方程，然后解方程即可。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．