Question

如圖所示，已知四邊形OABC是菱形，∠O=60°，點M是邊OA的中點，以點O為圓心，r為半徑作⊙O分別交OA，OC于點D，E，連接BM．若BM=，的長是．求證：直線BC與⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG．設菱形OABC的邊長為2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，求得a=1，得到OF=，再根據弧長公式求出r=，則圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，從而判定直線BC與⊙O相切．
解答：證明：如圖，過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG．
設菱形OABC的邊長為2a，則AM=OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=AB=a，BG=AG=a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=a，GM=a+a=2a，BM=，
∴BG²+GM²=BM²，即（a）²+（2a）²=（）²，
解得a=1，
∴OF=BG=．
∵的長==，
∴r=，
∴OF=r=，即圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，
∴直線BC與⊙O相切．
點評：本題考查了菱形的性質，勾股定理，弧長的計算公式，切線的判定，綜合性較強，難度適中，利用菱形的性質及勾股定理求出a的值是解題的關鍵．