Question

（2011•虹口區一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC延長線上一點，連接AE分別交BD、DC于點F、G．
（1）求證：

DG

DC

=

BC

BE

；
（2）若AD=2，BE=6，∠DBC=∠BAE，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）利用平行線分線段成比例定理即可證明

DG

DC

=

BC

BE

成立；
（2）證明△EAB∽△EBF即可求出AF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
即AD∥CE，AB∥CG，
∴

DG

DC

=

AG

AE

，

BC

BE

=

AG

AE

，
∴

DG

DC

=

BC

BE

；

（2）解：∵AD∥BC
∴

AD

BE

=

AF

EF

，
∵AD=2，BE=6，
∴

AF

EF

=

2

6

=

1

3

，
∵EF=3AF，AE=4AF，
∵在△EAB和△EBF中，

∠BAE=∠DBC ∠E=∠E

，
∴△EAB∽△EBF，
∴

AE

BE

=

BE

EF

，即BE²=AE•EF，
∴6²=4AF•3AF，
∴AF=

3

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應邊成比例，對應角相等．