Question

（2012•嘉定區二模）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，點E在邊AB上，DE∥BC．
（1）若CE=CB，且tan∠B=3，求△ADE的面積；
（2）若∠DEC=∠A，求邊BC的長度．

Answer 1

分析：（1）分別過點C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于點F、G，易證得四邊形CDEB是平行四邊形，則可求得AE的長，在Rt△BCF中，由三角函數的性質，即可求得△ADE的面積；
（2）易證得△CDE∽△DEA，由相似三角形的對應邊成比例，易求得DE，則可求得邊BC的長度．

解答：解：（1）分別過點C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于點F、G．
∵AB∥CD，
∴DG=CF，
∵AB∥CD，DE∥BC，
∴四邊形CDEB是平行四邊形，
∴BE=CD．
∵AB=13，CD=4，
∴AE=AB-BE=13-4=9，
∵CE=CB，CF⊥BE，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

×4=2，
在Rt△BCF中，由tan∠B=3，BF=2，
∴tan∠B=

CF

BF

=3，
即

CF

2

=3，CF=6，
∴DG=CF=6．
∴S_△ADE=

1

2

AE•DG=

1

2

×9×6=27；

（2）∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DEA，
又∵∠DEC=∠A，
∴△CDE∽△DEA，
∴

CD

DE

=

DE

EA

，
∵AE=9，CD=4，
∴

4

DE

=

DE

9

．
∴DE²=36，DE=6（負值已舍）．
∵四邊形CDEB是平行四邊形，
∴BC=DE=6．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．