Question

如圖，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，OA，OB（OA＜OB）的長分別是關于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，C（0，3），且S_△ABC=6
（1）求∠ABC的度數；
（2）過點C作CD⊥AC交x軸于點D，求點D的坐標；
（3）在第（2）問的條件下，y軸上是否存在點P，使∠PBA=∠CAB？若存在，請直接寫出直線PD的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先依題意求出OC=3，又因為|OA|+|OB|=4m求出m值，求出方程為x²-4x+3=0，解方程即可知道點A，B的坐標，然后判斷出△OBC是等腰直角三角形，求出∠ABC=45°；
（2）依題意證明△AOC∽△COD，利用線段比

AO

CO

=

OC

OD

，求出OD的長，然后求出點D的坐標；
（3）如圖可得，y軸存在點P使得∠PBA=∠CAB，點P可以在y的正或負半軸上．

解答：解：（1）∵點C（0，3），
∴OC=3，
∵S_△ABC=6，
∴

1

2

×AB×OC=6，
∴|AB|=4，
∵|OA|+|OB|=4m，
∴4m=4，m=1，
∴方程可化為：x²-4x+3=0
解得：x₁=1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；

（2）∵∠AOC=∠ACD=90°，∠CAO=∠DCO，
∴△AOC∽△COD，
∴

AO

CO

=

OC

OD

，
∴OD=9，
∴D（9，0）；

（3）存在．
過點B作P″B∥AC，
∵直線AC的解析式為：y=3x+3，
∴直線P″B的解析式為：y=3x-9，
∴P″點的坐標為：（0，-9），
根據對稱性也可為（0，9），
∴直線PD的解析式為：y=-x+9或y=x-9．∠PBA=∠CAB，

點評：本題綜合考查的是一次函數的性質及其應用，還考查了面積公式及用待定系數法求函數解析式．