Question

已知函數y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自變量x為正整數，a也是正整數，求x何值時，函數值最小．

Answer 1

【答案】分析：將函數解析式通過變形得配方式，其對稱軸為，因，，故函數的最小值只可能在x取a-2，時達到．所以，解決本例的關鍵在于分類討論．
解答：解：∵y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，
∴y=（a+2）+1-，其對稱軸為，
因為a為正整數，故因，，
因此，函數的最小值只能在x取a-2，a-1，時達到，
（1）當a-1=時，a=1，此時，x=0使函數取得最小值，由于x是正整數，故應舍去；
（2）a-2＜＜a-1時，即a＞1時，由于x是正整數，而為小數，故x=不能達到最小值，
當x=a-2時，y₁=（a+2）（a-2）²-2（a²-1）（a-2）+1，
當x=a-1時，y₂=（a+2）（a-1）²-2（a²-1）（a-1）+1，
又y₁-y₂=4-a，
①當4-a＞0時，即1＜a＜4且a為整數時，x取a-1，使y₂為最小值；
②當4-a=0時，即a=4時，有y₁=y₂，此時x取2或3；
③當4-a＜0時，即a＞4且為整數時，x取a-2，使y₁為最小值；
綜上，（其中a為整數）．
點評：本題考查了二次函數的最值，難度較大，關鍵是用分類討論的思想進行解題．