Question

已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+2x經過點A（4，0），頂點為B．
（1）求頂點B的坐標；
（2）將這條拋物線向左平移后與y軸相交于點C，此時點A移動到點D的位置，且∠DBA=∠CBO，求平移后拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A（4，0）代入拋物線y=ax²+2x可求出a的值，進而可得出拋物線的表達式，把拋物線的表達式化為頂點坐標的形式即可得出B點坐標；
（2）設平移后拋物線的表達式為y=-x²+bx+c．由點B的坐標為（2，2）可得AB=OB，∠BAD=∠BOC=45°．再由全等三角形的判定定理可得出△ABD≌△OBC，故AD=OC，即平移的距離為c，所以點D的坐標為（4-c，0），所以0=-（4-c）²+b（4-c）+c，故平移后拋物線的對稱軸為x=b，即b=2-c，代入拋物線的解析式即可求出c的值，故可得出結論．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+2x經過點A（4，0），
∴0=16a+8．
∴a=-，
∴拋物線的表達式為y=-x²+2x，
∴y=-x²+2x=-（x²-4x+2²-4）=-（x-2）²+2．
頂點B的坐標為（2，2）；

（2）解法一：設平移后拋物線的表達式為y=-x²+bx+c．
∵點B的坐標為（2，2），
∴AB=OB=2，∠BAD=∠BOC=45°．
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即平移的距離為c．
∴點D的坐標為（4-c，0）．
∴0=-（4-c）²+b（4-c）+c．
又∵平移后拋物線的對稱軸為x=b．
∴b=2-c．
∴0=-（4-c）²+（2-c）（4-c）+c．．
解得c=2或c=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達式為y=-x²+2．
解法二：∵原拋物線表達式為y=-x（x-4），
∴設平移后拋物線表達式為y=-（x+m）（x-4+m）（m＞0，向左平移的距離）．
即y=-x²-（m-2）x-m²+2m．
∵B的坐標為（2，2），
∵AB=OB=2，∠BAD=∠BOC=45°，
又∵∠DBA=∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD=OC，即m=-m²+2m．解得m=2或m=0（不符合題意，舍去）．
∴平移后拋物線的表達式為：y=-x²+2．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數的解析式、拋物線的平移等知識，難度較大．