Question

【題目】問題背景：某數學興趣小組把兩個等腰直角三角形的直角頂點重合，發現了一些有趣的結論．

結論一：

（1）如圖1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，連接BD，CE，試說明△ADB≌△AEC；

結論二：

（2）如圖2，在（1）的條件下，若點E在BC邊上，試說明DB⊥BC；

應用：

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，連接BD，BD＝7cm，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S四邊形ABCD＝24.5（cm2）．

【解析】

（1）根據全等三角形的判定SAS進行證明即可得到答案；

（2）根據全等三角形的性質和三角形內角和定理進行計算，即可得到答案；

（3）作BE⊥BD，交DC的延長線于點E，根據三角形內角和和全等三角形的判定定理（ASA），即可得到答案.

（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAE+∠CAE＝∠BAE+∠BAD，

∴∠CAE＝∠BAD，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）由（1）得△ADB≌△AEC，

∴∠C＝∠ABD，

又∵∠ABC+∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ABD＝90°，

∴DB⊥BC；

（3）作BE⊥BD，交DC的延長線于點E，

∵BE⊥BD，

∴∠CBE+∠DBC＝90°，

又∵∠ABD+∠DBC＝90°，

∴∠ABD＝∠EBC，

∵∠BAD+∠BCD＝180°，

∠BCE+∠BCD＝180°，

∴∠BAD＝∠BCE，

又∵BA＝BC，

∴△BAD≌△BCE（ASA），

∴BD＝BE，且S△BAD＝S△BCE，

∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△DBC

＝S△BCE+S△BCD

＝S△BDE

＝×7×7＝24.5（cm2）．