Question

（1999•青島）如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S_矩形=40cm²，S_△ABE：S_△DBA=1：5，則AE的長為（ ）

A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm

Answer 1

【答案】分析：根據“S_△ABE：S_△DBA=1：5”可以得到BE：BD=1：5，所以設BE=x，則BD=5x，ED=4x，根據射影定理表示出AB、AD，再根據S_矩形=40cm²，即可求出x的值，再利用△ABD的面積等于矩形面積的一半即可求出AE．
解答：解：∵S_△ABE：S_△DBA=1：5，
∴BE：BD=1：5，
設BE為x，則BD為5x，∴DE=4x，
在Rt△ABD中，∵AE⊥BD于E，
∴AB²=BE•BD=5x²，
AD²=DE•BD=4x•5x=20x²，
∴S_矩形=AB•AD=x•x=40cm²，
解得x=2cm，
∴BD=5×2=10cm，
S_△ABD=BD•AE=×10×AE=×40cm²，
解得AE=4cm．
故選A．
點評：本題根據面積的比求出邊長的比，再利用射影定理表示出矩形的長與寬，進一步運用面積求出對角線的長，再根據三角形的面積求出對角線上的高．本題難度較大，利用射影定理是解題的關鍵．