Question

在如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）過E作EP⊥AD交AC于P，求證：2AE²=AC•AP；
（3）若AE=8cm，△ABF的面積為9cm²，求△ABF的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF交AC于O，當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再利用矩形的性質求證
△AOE≌△COF，即可．
（2）過E作EP⊥AD交AC于P，由作法，∠AEP=90°，求證△AOE∽△AEP，可得，再利用四邊形AFCE是菱形，可得，．即可．
（3）根據四邊形AFCE是菱形，可得AF=AE=8．設AB=x，BF=y，可得（x+y）²-2xy=64①再根據三角形面積公式可得xy=18．②然后解方程即可．
解答：解：（1）連接EF交AC于O，
當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
又∵AC⊥EF，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

（2）證明：過E作EP⊥AD交AC于P，
由作法，∠AEP=90°，
由（1）知：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴，則AE²=AO•AP，
∵四邊形AFCE是菱形，
∴，
∴．
∴2AE²=AC•AP．

（3）∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=8．
設AB=x，BF=y，
∵∠B=90，即三角形ABC為直角三角形，
∴x²+y²=64，
∴（x+y）²-2xy=64①，
又∵S_△ABF=9，∴，則xy=18②，
由①、②得：（x+y）²=100，
∴x+y=10，x+y=-10（不合題意舍去），
∴△ABF的周長為x+y+AF=10+8=18．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，有一定的拔高難度，屬于難題．