Question

（2010•黔東南州）如圖，若Rt△ABC，∠C=90°，CD為斜邊上的高，AC=m，AB=n，則△ACD的面積與△BCD的面積比

S△BCD

S△ACD

的值是（　　）

• A．

  n2

  m2

• B．1-

  n2

  m2

• C．

  n2

  m2

  -1
• D．

  n2

  m2

  +1

Answer 1

分析：先根據題意判斷出Rt△ADC∽Rt△ABC，利用對應線段成比例求得線段AD的長，然后再得到△ACD∽△BCD，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答即可．

解答：解：∵CD⊥AD于點D，∠C=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∴△ACD∽ABC，
∴

AD

AC

=

AC

AB

即：AD=

AC×AC

AB

=

m2

n

∴在直角三角形ADC中，由勾股定理得：CD²=AC²-AD²=m²-

m4

n2

，
∵∠B=∠ACD
∴△ACD∽△BCD，
∴

S△BCD

S△ACD

=（

CD

AD

）²=

m2- m4 n2

m4 n2

=

n2-m2

m2

=

n2

m2

-1，
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是兩次證得直角三角形相似并利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求得兩三角形面積的比．