Question

（2005•重慶）已知拋物線y=-x²+2（k-1）x+k+2與x軸交于A、B兩點，且點A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設OA、OB的長分別為a、b，且a：b=1：5，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，以AB為直徑的⊙D與y軸的正半軸交于P點，過P點作⊙D的切線交x軸于E點，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B分別在x軸的正負半軸上，由此可得出A、B兩點橫坐標的積應該是負數，即-（k+2）＜0，由此可得出k的取值范圍；
（2）可根據OA、OB的比例關系設出A、B兩點的橫坐標（要注意A點在負半軸上），然后根據根與系數的關系即可得出一個關于k的方程組，進而可求出k的值，也就求出了拋物線的解析式；
（3）求E點的坐標就是求OE的長，已知了A、B的坐標可求出D的坐標，以及圓D的半徑長，如果連接DP，在直角三角形OPE中，可用射影定理得出DP²=OD•DE即r²=OD•DE，由此可求出DE的長，已知D的坐標，可據此求出E的坐標．
解答：解：（1）設點A（x₁，0），B（x₂，0）且滿足x₁＜0＜x₂
由題意可知x₁x₂=-（k+2）＜0，即k＞-2．

（2）∵a：b=1：5，設OA=a，即-x₁=a．
則OB=5a，即x₂=5a，a＞0
∴，即
∴k=2a+1，
即5a²-2a-3=0，解得a₁=1，（舍去）
∴k=3
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（3）由（2）可知，當-x²+4x+5=0時，可得x₁=-1，x₂=5．
即A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，則點D的坐標為（2，0）
當PE是⊙D的切線時，PE⊥PD
由Rt△DPO∽Rt△DEP可得PD²=OD•DE
即3²=2×DE
∴DE=，OE=DE-OD=-2=，
故點E的坐標為（-，0）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數與一元二次方程的關系、一元二次方程根與系數的關系、切線的性質等重要知識點，綜合性較強．