Question

已知拋物線過點（8，0），
（1）求m的值；
（2）如圖a，在拋物線內作矩形ABCD，使點C、D落在拋物線上，點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為L，求L的最大值；
（3）如圖b，拋物線的頂點為E，對稱軸與直線y=-x+1交于點F．將直線EF向右平移n個單位后（n＞0），交直線y=-x+1于點M，交拋物線于點N，若以E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線過點（8，0），直接代入求出m即可；
（2）利用配方法求出二次函數的頂點坐標，進而得出A點坐標，以及D點坐標，再利用二次函數的最值求出即可；
（3）根據①當四邊形EFNM是平行四邊形以及②當四邊形EFMN是平行四邊形分別求出即可．
解答：解：（1）
∵拋物線過點（8，0），
∴0=-×64+8m，
∴m=4，

（2）拋物線=，
設A點橫坐標為m，則AB=8-2m，D（m，），
∴矩形ABCD的周長=2（AD+AB）=2（8-2m）=-（m-2）²+20，
∵a=-1＜0，∴當m=2，矩形ABCD的周長的最大值為20，

（3）直線EF向右平移n個單位（n＞0）使得E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
直線MN的解析式為x=4+n，直線MN與直線y=-x+1交于點M（4+n，-n-3），
又∵E（4，8），F（4，-3），
∴E通過向下平移11個單位得到F．
∵E、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形FEMN是平行四邊形或四邊形EFNM是平行四邊形．
①當四邊形EFNM是平行四邊形，∴M向下平移11個單位得N，
∴N坐標為（4+n，-n-14），
又N在拋物線上，
∴n²-2n-44=0，
解得，（不合題意，舍去）    
②當四邊形EFMN是平行四邊形，∴M向上平移11個單位得N，
∴N坐標為（4+n，-n+8），
又N在拋物線上，
∴n²-2n=0，
解得n₁=2，n₂=0（不合題意，舍去），
∴n的值為2，．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的性質和點的坐標性質，利用分類討論得出n的不同值是解題關鍵．