Question

（2001•四川）已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點，連接AC、AP、CP，井延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F、三點，連接OF．
（1）求證：△AEP∽△CEA；
（2）判斷線段AB與OF的位置關系，并證明你的結論；
（3）求BH：HC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證△AEP∽△CEA，可以根據相似三角形的判斷定理證明∠PAE=∠ACE，∠AEP=∠AEC得出；
（2）判斷線段AB與OF的位置關系，根據平行線的判定證明∠B=∠ABC=90°得出AB∥OF；
（3）求BH：HC，由平行線的性質，及線段相互間的關系得出．
解答：（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴∠CAB=∠ACB=45°，∠DCB=90°，
∴AB是⊙D的切線，A為切點，
∴∠BCE=∠CAP，
∴∠PAE=∠ACE，
∵∠AEP=∠AEC，
∴△PAE∽△ACE；

（2）解：∵∠CPF=∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAP=45°，
∴∠COF=90°，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠B=90°，
∴AB∥OF；

（3）解：∵AB∥OF，
∴BH：OH=AB：OF=2：1，
∵CO=OB=OH+HB，
∴BH：HC=2OH：4OH=1：2．
點評：此題主要考查正方形的性質及相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質的綜合運用．