Question

某校準備耗資2200元，在一塊上、下兩底分別為15米、30米的梯形ABCD空地上種植花木，其中AD∥BC．
（1）如果在△AMD和△BMC地塊上種植太陽花，單價為每平方米10元，將△AMD地上種滿，花費了200元，請計算種滿△BMC地塊花費多少元？
（2）如果其余地塊上要種植的有玫瑰花和茉莉花兩種可供選擇，單價分別為每平方米15元和18元，應選哪種花，剛好用完準備的2200元？

Answer 1

分析：（1）由已知中四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，根據三角形相似的引理，可得△AMD與△CMB相似，進而根據面積比等于相似比，求出兩個三角形的面積比，結合已知中△AMD地帶種滿花后，共花了200元，即可得到種滿△BMC地帶所需的費用；
（2）根據已知條件，我們計算出梯形的總面積后，結合（1）的結論，即可求出S_△AMB+S_△DMC的大小，計算此時每平面米上平均的資金，即可選擇適當的花種．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC
∴△AMD∽△CMB，
∴S_△AMD：S_△CMB=(

AD

BC

)2=

1

4

∵種滿△AMD地帶花費200元，
∴S_△AMD=

200

10

=20(m2)，
∴S_△CMB=80m²，
∴種滿△BMC地帶的花費為80×10=800（元）；

（2）設△AMD，△BMC的高分別為h₁，h₂，梯形ABCD的高為h．
∵S△AMD=

1

2

×15h1=20，
∴h₁=

8

3

（m），
又∵

h1

h2

=

1

2

，
∴h₂=

16

3

（m），h=h₁+h₂=8（m），
∴S梯形ABCD=

1

2

(AD+BC)h=

1

2

×45×8=180(m2)，
∴S_△AMB+S_△DMC=180-20-80=80（m²）
又∵200+800+80×15=2200（元）；
∴應選擇種植玫瑰花可剛好用完所籌集的資金．

點評：本題考查的知識點是相似三角形的性質，梯形的幾何特征，其中相似圖形中線段比等于相似比，面積比等于相似比的平方，是相似三角形最常用的性質．