Question

順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是（ ）
A．矩形
B．平行四邊形
C．菱形
D．任意四邊形

Answer 1

【答案】分析：順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是菱形，理由為：根據(jù)題意畫出四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點(diǎn)，寫出已知，求證，由E，H分別為AB，AD的中點(diǎn)，得到EH為三角形ABD的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH與FG平行且相等，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得出EFGH為平行四邊形，再由EF為三角形ABC的中位線，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得證．
解答：解：順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是菱形，
如圖所示：

已知：E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，且AC=BD，
求證：四邊形EFGH為菱形，
證明：∵E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH為△ABD的中位線，F(xiàn)G為△CBD的中位線，
∴EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=BD，
∴EH∥FG，EH=FG=BD，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又EF為△ABC的中位線，
∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，以及菱形的判定，利用了數(shù)形結(jié)合及等量代換的思想，靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵．