Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，G為AB中點，在線段DG上取點F，使FG=AG，過點F作FE⊥DG交AD于點E，連接EC交DG于點H．已知EC平分∠DEF．下列結論：①∠AFB=90°；②AF∥EC；③△EHD∽△BGF；④DH•FG=FH•DG．其中正確的是（ ）

A．只有①②
B．只有①②④
C．只有③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：由G為AB的中點，得到AG=BG，再由FG=AG，得到FG為AB的一半，根據三角形中一邊上的中線等于這邊的一半，可得出這邊所對的角為直角，即∠AFB=90°，得到選項①正確；由EF垂直于FG，EA垂直于AG，得到一對直角相等，再由FG=AG，利用等邊對等角得到一對角相等，兩等式相減可得出∠EFA=∠EAF，由EC為角平分線得到一對角相等，再由∠DEF為三角形AEF的外角，利用外角的性質及等量代換可得出一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行可得出AF與EC平行，故選項②正確；由FG=BG得到三角形BFG為等腰三角形，而三角形DEH不一定為等腰三角形，故兩三角形不一定相似，選項③錯誤；由AF與EC平行，利用平行得比例，得到DH：HF=DE：AE，而AE=EF，等量代換得到DH：HF=DE：EF，再由一對直角相等及公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形DEF與三角形DAG相似，由相似得比例得到DE：EF=DG：AG，而AG=FG，等量代換可得出DE：EF=DG：FG，等量代換變形可得出選項④正確，綜上，得到所有正確的選項為①②④．
解答：解：∵G為AB的中點，
∴AG=BG，又FG=AG，
∴FG=AG=BG，即FG=AB，
∴∠AFB=90°，
故選項①正確；
∵FG=AG，
∴∠GFA=∠GAF，
又EF⊥FD，
∴∠EFG=∠EAG=90°，
∴∠EFG-∠GFA=∠EAG-∠GAF，即∠EFA=∠EAF，
又EC為∠DEF的平分線，
∴∠DEC=∠FEC，
∵∠DEF為△EAF的外角，
∴∠DEF=∠DEC+∠FEC=2∠FEC=∠EFA+∠EAF=2∠EFA，
∴∠FEC=∠EFA，
∴AF∥EC，
故選項②正確；
而△EHD與△BGF不一定相似，故選項③錯誤；
∵AF∥EC，
∴=，
∵∠EFD=∠GAD=90°，∠EDF=∠GDA，
∴△EFD∽△GAD，
∴=，
∵∠EFA=∠EAF，
∴AE=EF，又AG=FG，
∴=，
∴=，即DH•FG=FH•DG，
故選項④正確，
綜上，正確的選項有①②④．
故選B
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的外角性質，三角形的外角性質，以及直角三角形斜邊上中線性質的逆定理，熟練掌握性質及判定是解本題的關鍵．