Question

如圖，拋物線y=ax²+k（a≠0）的頂點為A，點B坐標為（0，2k），點P為拋物線上任意一點，作PC⊥x于點C，連接PB．
（1）當k=1，且PC=PB時，求a的值；
（2）當k=-1，且PC=PB時，求a的值；
（3）猜想當a與k滿足怎樣的關系時，PC與PB的長相等？并說明理由．

Answer 1

解：設點P（x，ax²+k），則：
PC²=（ax²+k）²=a²x⁴+2akx²+k²，PB²=x²+（ax²+k-2k）²=a²x⁴+（1-2ak）x²+k²；
當PC=PB時，a²x⁴+2akx²+k²=a²x⁴+（1-2ak）x²+k²，
即（4ak-1）x²=0，即ak=；
故（1）當k=1，且PC=PB時，a=；

（2）當k=-1，且PC=PB時，a=-；

（3）當a、k滿足ak=時，PC、PB的長相等．
分析：此題的三個小題解法是一致的，可先設出點P的坐標（設橫坐標，根據拋物線解析式表示縱坐標），根據坐標系兩點間距離公式求得PB²的值，而PC²的長易得，根據PC=BP這個等量關系，可列方程求出a、k的關系式或a的值．
點評：此題并不難，只要利用平面直角坐標系兩點間的距離公式求得PB的距離，并能根據題意列出方程，正確的解方程即可順利得出結論．