Question

如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各邊中點分別為A₁、B₁、C₁、D₁，順次連接得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再取各邊中點A₂、B₂、C₂、D₂，順次連接得到四邊形A₂B₂C₂D₂，…，依此類推，這樣得到四邊形A_nB_nC_nD_n，則四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據三角形的中位線定理，得A₁B₁∥AC，A₁B₁=AC，則△BA₁B₁∽△BAC，得△BA₁B₁和△BAC的面積比是相似比的平方，即 ，因此四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是四邊形ABCD的面積的 ，即a²；推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形A_nB_nC_nD_n的面積=．
解答：解：∵四邊形A₁B₁C₁D₁的四個頂點A₁、B₁、C₁、D₁分別為AB、BC、CD、DA的中點，
∴A₁B₁∥AC，A₁B₁=AC．
∴△BA₁B₁∽△BAC．
∴△BA₁B₁和△BAC的面積比是相似比的平方，即 ．
又四邊形ABCD的對角線AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積是16．
推而廣之，則AC=8，BD=4，四邊形A_nB_nC_nD_n的面積=．
故答案為（或或，只要答案正確即可）．
點評：此題綜合運用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質．注意：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．