Question

如圖1，已知直線y₁=kx+4與函數的圖象相交于點A（1，3）、B（ m，1）兩點．

（1）求a、k、m的值；
（2）求y₁＞y₂時x的取值范圍（請直接寫出答案）；
（3）求△AOB的面積；
（4）如圖2，M（0，2）、N（2，0），在上述函數（x＞0）的圖象上取一點P（點P的橫坐標大于2），過點P作PQ⊥x軸，垂足是Q．若四邊形MNQP的面積等于2，求P點的坐標．

Answer 1

解：（1）將點A（1，3）代入y₁=kx+4，可得k+4=3，
解得：k=-1；
將點A（1，3）代入，y₂=，可得3=，
解得：a=3，即可得y₂=，
將點B（m，1）代入y₂=，可得1=，
解得：m=3；
綜上可得：k=-1，a=3，m=3；

（2）結合函數圖象可得：當x＜0或1＜x＜3時，y₁＞y₂．

（3）
由y₁=-x+4可得點E的坐標為（4，0），
則S_△AOE=OE×A_縱=6，S_△BOE=OE×B_縱=2，
故可得S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE=4；

（4）設點P的坐標為（x，），
S_△MPO=OM×P_橫=x，S_△POQ=|a|=，S_△MON=OM×ON=2，
則S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四邊形MNQP}=S_{四邊形MPQO}，
即x+=2+2，
解得：x=，則=，
故點P的坐標為：（）．
分析：（1）將點A（1，3），代入y₁、y₂可得出k、a的值，然后將點B（m，1）代入y₂可得出m的值．
（2）根據圖象即可得出y₁＞y₂時x的取值范圍．
（3）求出直線AB與x軸的交點E的坐標，然后求出S_△AOE、S_△BOE，根據S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE，可得出△AOB的面積．
（4）根據（1）中求得a的值，可設點P（x，），連接OP，根據S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四邊形MNQP}，可得出x的值，繼而得出點P的坐標．
點評：本題考查了反比例函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、不規則圖形面積的求法及反比例函數k的幾何意義，綜合性較強，解答本題要求我們熟悉各個知識點，能將所學的知識融會貫通，難度較大．