Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一點D，使AD＝4，將線段AD繞點A按順時針方向旋轉，點D的對應點是點P，連接BP，取BP的中點F，連接CF，當點P旋轉至CA的延長線上時，CF的長是_____，在旋轉過程中，CF的最大長度是_____.

Answer 1

【答案】， +2．

【解析】

當點P旋轉至CA的延長線上時，CP＝10，BC＝2，利用勾股定理求出BP，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CF的長；取AB的中點M，連接MF和CM，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CM的長，利用三角形中位線定理，可得FM的長，再根據當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，即可得到結論．

當點P旋轉至CA的延長線上時，如圖1．

∵在直角△BCP中，∠BCP＝90°，CP＝AC+AP＝6+4＝10，BC＝2，

∴BP＝，

∵BP的中點是F，

∴CF＝BP＝ ．

取AB的中點M，連接MF和CM，如圖2．

∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，

∴AB＝2．

∵M為AB中點，

∴CM＝AB＝，

∵將線段AD繞點A按順時針方向旋轉，點D的對應點是點P，

∴AP＝AD＝4，

∵M為AB中點，F為BP中點，

∴FM＝AP＝2．

當且僅當M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，

此時CF＝CM+FM＝+2．

故答案為：， +2．