Question

如圖：AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DAB=22.5°，延長AB到點C，使得∠ACD=45°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=2，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：連接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：連接DB，
∵直徑AB=2，△OCD為等腰直角三角形，
∴CD=OD=，OC==2，
∴BC=OC-OB=2-．
分析：（1）連接DO，由三角形的外角與內角的關系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圓的切線．
（2）由1知，CD=OD=AB，由弦切角定理可得∠CDB=∠A，故有△ADC∽△DBC，得到CD2=CB•CA=CB（CB+AB）而求得BC的值．
點評：本題利用了等邊對等角，三角形的外角與內角的關系，切線的概念，相似三角形的判定和性質求解．