Question

鄂州市圓夢園別墅區有一塊三角形ABC的空地，BC=30米，BC邊上的高AD=20米，現計劃在這塊空地上修建一個矩形游泳池EFGH，使EF在BC邊上，H、G分別在AB，BC邊上，設EH為x米，矩形的面積為S．
（1）求S關于x的函數式，并寫出自變量的取值范圍．
（2）別墅區管理處計劃投資26000元．若游泳池EFGH每平方米造價100元．將△BEH和△CGF種植草皮，草皮每平方米40元，將△AHG修建休閑區，每平方米造價80元．請你通過計算說明別墅區管理處對該項目的投資是否夠用？

Answer 1

解：（1）由題意得HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，
=，
解得HG=-1.5x+30，
∴S=HG×HE=-1.5x²+30x（0＜x＜20）；

（2）游泳池的造價為（-1.5x²+30x）×100=-150x²+3000x，
休閑區的造價為×（-1.5x+30）×（20-x）×80=60x²-2400x+24000，
草皮的造價為[30×20×-（-1.5x²+30x+x²-30x+300）]×40=30x²，
∴W=-60x²+600x+24000，
=-60（x-5）²+25500，
當x=5時，W有最大值25500元，小于26000元，夠用．
分析：（1）利用△AHG∽△ABC得到HG的代數式，進而得到矩形的面積即可；
（2）總造價=游泳池的面積×100+草皮的面積×40+休閑區的面積×80，利用二次函數的最值問題求得最高造價，與所給造價比較即可．
點評：考查一次函數的應用利用相似三角形的判定與性質得到矩形的另一邊長是解決本題的突破點．