Question

如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發，沿B-A-D-A運動，沿B-A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A-D-A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點 B出發沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結PQ．
（1）當點P沿A-D-A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）．
（2）連結AQ，在點P沿B-A-D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數關系式．
（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②．在點P沿B-A-D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．
（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情況討論，當點P沿A-D運動時，當點P沿D-A運動時分別可以表示出AP的值；
（2）分類討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜時，根據三角形的面積公式分別求出S與t的函數關系式；
（3）分情況討論，當0＜t＜1時，當1＜t＜時，當＜t＜時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可；
（4）分情況討論當P在A-D之間或D-A之間時，如圖⑥，根據軸對稱的性質可以知道四邊形QCOC′為菱形，根據其性質建立方程求出其解，當P在D-A之間如圖⑦，根據菱形的性質建立方程求出其解即可．
解答：解：（1）當點P沿A-D運動時，AP=8（t-1）=8t-8．
當點P沿D-A運動時，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．（2分）

（2）當點P與點A重合時，BP=AB，t=1．
當點P與點D重合時，AP=AD，8t-8=50，t=．
當0＜t＜1時，如圖①．
作過點Q作QE⊥AB于點E．
S_△ABQ==，
∴QE===．
∴S=-30t²+30t．
當1＜t≤時，如圖②．
S==，
∴S=48t-48；

（3）當點P與點R重合時，
AP=BQ，8t-8=5t，t=．
當0＜t≤1時，如圖③．
∵S_△BPM=S_△BQM，
∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，
在△BPM和△RQM中
，
∴△BPM≌△RQM．
∴BP=RQ，
∵RQ=AB，
∴BP=AB
∴13t=13，
解得：t=1
 當1＜t≤時，如圖④．
∵BR平分陰影部分面積，
∴P與點R重合．
∴t=．
當＜t≤時，如圖⑤．
∵S_△ABR=S_△QBR，
∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}．
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分．
綜上所述，當t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分．

（4）如圖⑥，當P在A-D之間或D-A之間時，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，
∴∠C′OQ=∠OQC．
∵△C′OQ≌△COQ，
∴∠C′OQ=∠COQ，
∴∠CQO=∠COQ，
∴QC=OC，
∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，
解得：t=7或t=．
當P在A-D之間或D-A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖⑦．
同理由菱形的性質可以得出：OD=PD，
∴50-5t+13=8（t-1）-50，
解得：t=．
∴當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC．
點評：本題考查了平行四邊形的性質的運用，菱形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，分類討論的數學思想的運用，軸對稱的性質的運用，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運用動點問題的解答方法確定分界點是解答本題的關鍵和難點．