Question

（2004•廣東）如圖，在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D為BC上的一點，且PB=PD，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：PE=BO；
（2）設AC=2a，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件可證明Rt△BOP≌Rt△PDE，所以，BO=PE；
（2）PE=AO=BO=OC=a，AP=x，EC=DE=OP=AO-AP=a-x，BC=AB=a，作EF⊥CD，EF=EC•，所以可求得y=S_△BPO+S_△BOC-
S_△DOE=a²--，（0≤x≤a）．
解答：（1）證明：∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC（∠PDB外角）
∴∠PBO=∠DPC．
又∵BP=DP
∴Rt△BOP≌Rt△PDE
∴BO=PE；

（2）解：PE=AO=BO=OC=a，AP=x
EC=DE=OP=AO-AP=a-x
BC=AB=a
作EF⊥CD，EF=EC•
y=S_△BPO+S_△BOC-S_△DCE
=+-=a²--．（0≤x≤a）．
點評：主要考查了二次函數的綜合運用，利用全等三角形判定和性質求出相等的線段再利用線段的和差關系表示出所求圖形的邊長及相關線段，利用面積公式求面積是解題的關鍵．