Question

如圖，梯形ABCD內接于⊙O，BC∥AD，AC與BD相交于點E，在不添加任何輔助線的情況下：
（1）圖中共有幾對全等三角形，請把它們一一寫出來，并選擇其中一對全等三角形進行證明；
（2）若BD平分∠ADC，請找出圖中與△ABE相似的所有三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了BC∥AD，可得出的條件有：弧AB=弧CD，弧AC=弧BD；即AB=CD、AC=BD、∠BAC=∠CDB、∠BCA=∠CBD；再根據AD=AD、∠AEB=∠CED，可得出的全等三角形有：①△ADB≌△DAO（SSS）；②△ABE≌△DCE（AAS）；③△ABC≌△DCB（AAS）．
（2）BD平分∠ADC，那么弧AB=弧BC=弧CD．可根據圓周角定理得出的相等角進行判斷．
解答：解：（1）圖中共有三對全等三角形：
①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB；
選擇①△ADB≌△DAC證明：
在⊙O中，∠ABD=∠DCA，∠BCA=∠BDA，
∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠CAD．
∴∠CAD=∠BDA．
在△ADB與△DAC中，
∵，
∴△ADB≌△DAC．

（2）圖中與△ABE相似的三角形有：△DCE，△DBA，△ACD．
點評：本題主要考查全等三角形和相似三角形的判定，根據平行線和圓周角定理得出的角和邊相等是證三角形全等或相似的關鍵所在．