Question

已知關于x的方程（a²+1）x²-2（a+b）x+b²+1=0
（1）若b=2，且2是此方程的根，求a的值；
（2）若此方程有實數根，當-3＜a＜-1時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，然后解關于a的一元二次方程即可；
（2）根據根的判別式的意義得到△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，整理得（ab-1）²≤0，利用非負數的性質得到ab-1=0，則a=

1

b

，
由于-3＜a＜-1，于是得到-1＜b＜-

1

3

．

解答：解：（1）把b=2，x=2代入方程得4（a²+1）-4（a+2）+4+1=0，解得a₁=a₂=

1

2

，
即a的值為

1

2

；
（2）根據題意得△=4（a+b）²-4（a²+1）（b²+1）≥0，
∴（ab）²-2ab+1≤0，即（ab-1）²≤0，
∴ab-1=0，
∴a=

1

b

，
∵-3＜a＜-1
∴-1＜b＜-

1

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義．