Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據弦切角定理和切線的性質可得∠CBE=∠A，∠ABD=90°，根據圓周角定理可得∠ACB=90°，即可得∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，再由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=BD=BE，根據等腰三角形的性質可得∠BCE=∠CBE=∠A，即可證出∠ACO=∠BCE，所以∠BCE+∠BCO=90°，即CE⊥OC，所以CE是⊙O的切線；（2）由勾股定理求出AB的長，再由三角函數得出tanA==，求出BD=AB=，即可得出CE的長．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵BD是⊙O的切線，

∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，

∵E是BD中點，

∴CE=BD=BE，

∴∠BCE=∠CBE=∠A，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠A，

∴∠ACO=∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

即∠OCE=90°，CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ACB=90°，

∴AB=，

∵tanA==，

∴BD=AB=，

∴CE=BD=．