Question

已知：關于的方程有兩個不相等的實數根．

（1）求的取值范圍；

（2）拋物線：與軸交于、兩點．若且直線:經過點,求拋物線的函數解析式；

（3）在（2）的條件下，直線:繞著點旋轉得到直線：，設直線與軸交于點，與拋物線交于點（不與點重合），當時，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）

∵方程有兩個不相等的實數根

∴

∴                

（2）   拋物線中，令，則

，

解得：，     

∴拋物線與軸的交點坐標為和

∵直線:經過點

當點坐標為時，

解得

當點坐標為時

，

解得或                 

                                

又∵

∴且

∴拋物線的解析式為；

（3）設

①當點在點的右側時，

可證

若，則，

此時,

過點的直線：的解析式

為

時 ，

求得    

②當點與點重合時直線與拋物線只有一個公共點

解得

令,求得   

③當點在點的左側時

可證

若，則，此時,

，解得

綜上所述，當時且 

【解析】（1）方程有兩個不等的實數根，則判別式△＞0，據此即可得到關于m的不等式求得m的范圍；

（2）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標，經過點,則A可能是兩個交點中的任意一個，分兩種情況進行討論，把點的坐標代入直線的解析式，即可求得m的值；

（3）設出M點的坐標，當點M在A點的右側時，可得據此即可求得M的橫坐標，則M的坐標可以得到，代入函數解析式，利用待定系數法即可求得k值；

當點M與A點重合時直線l₂與拋物線C只有一個公共點，則兩個函數解析式組成的方程組，只有一個解，利用根的判別式即可求解；當點M在A點的左側時，可證，可以求得M的橫坐標，則M的坐標可以得到，代入函數解析式，利用待定系數法即可求得k值．