Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直徑，過點A做AP∥BC交DB的延長線于點P，連接AD．

（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是2，cos∠ABC= ，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AO，

∵AP∥BC，

∴∠3=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，

∵∠1=∠D，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴AP是⊙O的切線；

（2）

解：

由（1）得：∠ABC=∠D，

∵⊙O的半徑是2，cos∠ABC= ，

∴BD=4，cos∠ABC=cosD= ，

∴ = ，

解得：AD=3，

∴AB= = = ．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質以及圓周角定理得出∠3=∠1，進而得出∠2+∠3=90°，即可得出答案；（2）利用銳角三角函數關系得出cos∠ABC=cosD= ，進而得出AD的長，再利用勾股定理求出AB的長．
【考點精析】通過靈活運用切線的判定定理和解直角三角形，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．