Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、DB。
（1）當∠ADC=18°時，求∠DOB的度數；
（2）若AC=，求證：△ACD∽△OCB。

Answer 1

解：（1）連接OA ， ∵OA=OB=OD， ∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°， ∴∠DAB= ∠DAO+∠BAO=48°， 由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°； （2）過O作OE⊥AB于E， 由垂徑定理得：AE=BE， ∵在Rt △OEB中，OB=4，∠OBC=30°， ∴OE= OB=2， 由勾股定理得：BE=2=AE ， 即AB=2AE=4， ∵AC=2， ∴BC=2， 即C、E兩點重合， ∴DC⊥AB， ∴∠DCA= ∠OCB=90°， ∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2 ，AC=BC=2， ∴=， ∴△ACD∽△OCB（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似）。