Question

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（- ，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經過AB、CD兩邊的中點。
（1）求這條拋物線的函數解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF，設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜3 ）。
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉中心，將△FEC按順時針方向旋轉180°，得△FE′C′，當△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍。（寫出答案即可）

Answer 1

解：（1）由題意得AB的中點坐標為（-3 ，0），CD的中點坐標為（0，3），   分別代入y=ax2+b，得，解得，， ∴這條拋物線的函數解析式為y=-x2+3；                                     （2）①存在。如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=， ∴， ∴∠C=60°，∠CBE=30°， ∴EC=BC=，DE=，                                 又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C=180°， ∴∠ADC=180°-60°=120° 要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角， （I）若∠ADF=90 °，∠EDF=120°-90°=30°， 在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2， 又∵E（t，3），F（t，-t2+3）， ∴EF=3-（-t2+3）=t2， ∴t2=1， ∵t＞0， ∴t=1，                                     此時， ∴， 又∵∠ADF=∠DEF， ∴△ADF∽△DEF；   （II）若∠DFA=90°，可證得△DEF∽△FBA，則， 設EF=m，則FB=3-m， ∴，即m2-3m+6=0，此方程無實數根， ∴此時t不存在；                                         （III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°， ∴∠DAF≠90°，此時t不存在，                               綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似； ②。