Question

如圖，⊙O的半徑為1，直線CD經過圓心O，交⊙O于C、D兩點，直徑AB⊥CD，點M是直線CD上異于點C、O、D的一個動點，AM所在的直線交于⊙O于點N，點P是直線CD上另一點，且PM＝PN．

(1)當點M在⊙O內部，如圖一，試判斷PN與⊙O的關系，并寫出證明過程；

(2)當點M在⊙O外部，如圖二，其它條件不變時，(1)的結論是否還成立？請說明理由；

(3)當點M在⊙O外部，如圖三，∠AMO＝15°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PN與⊙O相切． 　　證明：連結ON，則∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN． 　　∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO． 　　∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠ONA＝90°． 　　即PN與⊙O相切． 　　(2)成立． 　　證明：連結ON，則∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN． 　　在Rt△AOM中， 　　∴∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°． 　　∴∠PNO＝180°－90°＝90°． 　　即PN與⊙O相切． 　　(3)連結ON，由(2)可知∠ONP＝90°． 　　∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°， 　　∵∠PON＝60°，∠AON＝30°． 　　作NE⊥OD，垂足為點E，則NE＝ON·sin60°＝1×＝． 　　＝OC·OA＋CO·NE 　�。�．