Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E，

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若EA=BO=2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積為．

【解析】分析：（1）由于D是圓上一點，說明CD為⊙O的切線需證明OD⊥CE．可通過證明△CDO≌△CBO實現；
（2）由于陰影部分的面積=S扇形BOD-S△BOD，圓心角∠DOB的度數可通過外角及Rt△ODE中邊間關系得到．

詳解：

（1）如圖所示：連接OD、OC，

∵點D在圓上，B為切點，

∴OD=OB，OB⊥BC

在△COD和△COB中，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

又∵OD=OB

∴CD為⊙O的切線；

（2）∵EA=BO=2，OA=OD=OB，∠ODC=∠EDO=90°，

在Rt△EDO中，∵OE=2OB=2OD

∴∠E=30°，

∴∠DOB=∠EDO+∠E=120°．

∴S扇形BOD=，

∵S△BOD=×OD2×sin60°=，

∴S陰影=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣．

答：陰影部分的面積為﹣．